有理数和无理数分布问题(一)

中学的时候就大概知道实数，还以为这个问题很简单。现在又学了《数学分析》，才惊叹用了这么多年的实数，到底是个什么鬼？ 戴德金定义了一种分割，将全体有理数划分成两个非空集合$A$,$A'$,则满足$1.$任意有理数，必在且仅在$A$与$A'$二集之一中出现。$2.$集$A$内的任一有理数$a$必须小于集$A'$内的任一有理数$a$.$A$叫做上组，$A'$叫做下组。 现在想象一个数轴，在这个数轴上标记一个点$s$，如果这个点是有理数，那么以$s$作为分割，大于等于$s$的数归为上组，剩下的归为下组，在上组中，有最小值$s$,在下组中，无最大值，我们就定义了一个划分。这个划分确定了有理数$s$。 我们用这种方式能否定义数轴上任意一个点呢？考虑以$r$的划分，其中$r^2\verb|<|2$的划分放在$A$中，$r^2>2$的划分放在$A'$中，问题是$r$可以放在上组或者下组里面吗？考虑正整数$n$,