有理数和无理数分布问题(一)

中学的时候就大概知道实数，还以为这个问题很简单。现在又学了《数学分析》，才惊叹用了这么多年的实数，到底是个什么鬼？ 戴德金定义了一种分割，将全体有理数划分成两个非空集合$A$,$A'$,则满足$1.$任意有理数，必在且仅在$A$与$A'$二集之一中出现。$2.$集$A$内的任一有理数$a$必须小于集$A'$内的任一有理数$a$.$A$叫做上组，$A'$叫做下组。 现在想象一个数轴，在这个数轴上标记一个点$s$，如果这个点是有理数，那么以$s$作为分割，大于等于$s$的数归为上组，剩下的归为下组，在上组中，有最小值$s$,在下组中，无最大值，我们就定义了一个划分。这个划分确定了有理数$s$。 我们用这种方式能否定义数轴上任意一个点呢？考虑以$r$的划分，其中$r^2\verb|<|2$的划分放在$A$中，$r^2>2$的划分放在$A'$中，问题是$r$可以放在上组或者下组里面吗？考虑正整数$n$, $$\begin{equation} (r+\frac{1}{n})^2\verb|<|2 \end{equation}$$ 则 $$\begin{equation} \frac{2r+1}{n}\verb|<|\frac{2r}{n} + \frac{1}{n^2} \verb|<|2-r^2 \end{equation}$$ 因此有 $$\begin{equation}\label{f:insert} n>\frac{2r+1}{2-r^2} \end{equation}$$ 这是横成立的。因此我们始终可以在下组$A$插入一个数$r+\frac{1}{n}$满足($\ref{f:insert}$),言外之意，下组$A$无最大值，仿此，上组$A'$无最小值。数$r$现在处于尴尬的无容身之地！ 有理数必然是断裂的，不是连续的！ 我们把有理数断裂的地方的数称为无理数，比如$r$就是一个无理数，以使戴德金分割成立。有理数并上无理数，称为实数。实数和有理数一样，是有序的(这里根据戴德金划分很容易正得)。

实数的稠密性

戴德金分割本身就等同于实数的稠密性(由于有理数的断裂，我们把断裂的地方称为无理数，这样就没有了断裂，保证实数是稠密的.如果实数是稠密的，那么一定可以构造戴德金分割，得证)。

引理一:

不论怎样的实数$a$和$b$,他们之间总可以找到一个有理数$r$,使得$a>r>b$. 如果$a$和$b$都是有理数，只需令$r=\frac{a+b}{2}$。如果$a$和$b$都是无理数，$a$划分$A$和$A'$,$A'$有最小值，$b$划分$B$和$B'$,那么$a$的下组$A$必然包含了$b$的下组$B$，则总能找到一个数$r$，$a>r\ge b$,由于$A$无最大值，因此总能找到一个数，使得$a>r>b$。如果$a$和$b$一个有理数，一个无理数，同第二个证明。

引理二：

设给定两个实数$a$和$b$.如果任意取一个数$e>0$,数$a$及$b$都能位于同一对有理数$s$与$s'$之间:$s'>a>s,s'>b>s$,这对数的差小于$e$:$s'-s\verb|\verb|<||e$,则数$a$与$b$必须相等。 假设$a>b$,则有 $$\begin{equation} s'>a>b>s \end{equation}$$ 所以 $$\begin{equation} s'-s>a-b>0 \end{equation}$$ 显然$s'-s\verb|<|e=a-b$不成立.因此，$a=b$，得证。 所以现在就存在一堆有序的稠密的实数。

有理数和无理数是间隔分布的吗？

有理数和无理数是间隔分布的吗？间隔意味着1.任意两个无理数之间都可以插入至少一个有理数。2.任意两个有理数之间都可以插入至少一个无理数。根据引理一，可以直接证明1。现在考虑2,根据引理二，我们在$s'$与$s$之间插入一个数$r$,令$s'-s\verb|<|e$，其中$e>0$的任意数，这个时候，有且只有一个数$r$可以被插入。令$r$为有理数，则有 $$\begin{equation} s'>r>s \end{equation}$$ 即存在连续三个连续的有理数。所以，2被证明是错误的。令$r$为有理数，令$i$为无理数，则存在这样的分布： $$\begin{equation} \ldots,r,r,r,\ldots,r,i,r,r,r,\ldots,r,i,r,r,r,\ldots \end{equation}$$ 如果我们把$r$凃成红色，把$i$凃成绿色，那么一个实数轴看起来是什么颜色呢？当然是红色。我们称之为\textbf{红色的数轴}。

有理数和无理数哪个多？

红色的数轴，貌似意味着有理数数量远远多余无理数。那么有理数和无理数怎么数呢？考虑数数这个行为，可以定义成与自然数， $$\begin{equation} 0,1,2,3,4,\ldots,n-1,n,n+1,\ldots \end{equation}$$ 一一对应的问题。先来一个简单的，数一数包含小于等于0的整数，只需 $$\begin{equation} \begin{matrix} 0& 1& 2& 3&\ldots& n-1& n& n+1&\ldots\\ 0&-1&-2&-3&\ldots&-n-1&-n&-n-1&\ldots\\ \end{matrix} \end{equation}$$ 由于第一列每拿出一个数第二列都可以拿出一个数与之对应，以至无穷，所以二者数量相等，我们称之为\textbf{可数的}。再考虑偶数和自然数： $$\begin{equation} \begin{matrix} 0& 1& 2& 3&\ldots& n-1& n& n+1&\ldots\\ 0& 2& 4& 6&\ldots&2n-2&2n&2n+2&\ldots\\ \end{matrix} \end{equation}$$ 有同样结论。考虑正有理数和自然数 $$\begin{equation} \begin{matrix} \frac{0}{1}&\frac{0}{2}&\frac{0}{3}&\ldots&\frac{0}{n}&\ldots\\ \frac{1}{1}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\ldots&\frac{1}{n}&\ldots\\ \frac{2}{1}&\frac{2}{2}&\frac{2}{3}&\ldots&\frac{2}{n}&\ldots\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots&\vdots &\vdots\\ \frac{1}{1}&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\ldots&\frac{1}{n}&\ldots\\ \end{matrix} \end{equation}$$ 只需从左上角开始遍历， $$\begin{equation} \begin{matrix} \frac{0}{1}&\frac{0}{2}&\frac{1}{1}&\frac{2}{1}&\frac{1}{2}&\ldots\\ 0&1&2&3&4&\ldots\\ \end{matrix} \end{equation}$$ 这样,正有理数和自然数一样多，正有理数是可数的。负有理数的证明相同，也是可数的，同样，有理数也是可数的。 同样，也可以把0到1之间的有理数和大于1的自然数做映射，只需取$1/n$即可，$n$为大于1的自然数，因此，有理数又等于0到1之间的有理数！ 考虑实数和自然数，可否像构造有理数一样构造一个\textbf{可数的}实数？不好意思，不能。 考虑0到1之间的实数， $$\begin{equation} \begin{matrix} 0.a_{11}a_{12}a_{13}\ldots\\ 0.a_{21}a_{22}a_{23}\ldots\\ 0.a_{31}a_{32}a_{33}\ldots\\ \vdots \end{matrix} \end{equation}$$ 假设我们已经列出了所有的实数，那么，如果我们选取一个实数， $$\begin{equation} 0.a_{11}a_{22}a_{23}\ldots\\ \end{equation}$$ 这个实数一定不在已知实数里面，所以实数是不可数的。那么实数和自然数哪个多呢？下节再说。