编程狗学概率[1]:样本空间和事件

自从学习了统计学以后，还没有搞清楚过样本空间和事件二者的概念。应用类的书里面也很少讲清楚这两个概念。要想理解这两个概念，恐怕还得回到现代数学最根本的地方——集合论。本文简单讲述集合论的基础。

本文目录

• 1.问题
• 2.集合论
• 3.样本点和样本空间
• 4.子集与事件
• 5.关系
• 6.启示
• 7.资源

1.问题

一个盒子里面放3个红色的球，2个绿色的球,如果要对盒子里面的球进行抽样，指出(1)样本点和样本空间(2)举例事件(3)描述关系。

2.集合论

一个【集合】(用A表示)，简单的说是由【元素】(用a表示)的合集构成的。而集合A和元素a之间的关系，就是集合论所讨论的内容。a是A的元素，表示为a∈A。

例如，集合A={1,2,3} ,而元素就分别是 1,2,3 。1 ∈ A ,2 ∈ A ,3 ∈ A 。

3.样本点和样本空间

作为对应，我们把元素a看作样本点，把集合A看作样本空间。

例如1，在问题中，如果我们对盒子中进行有放回的抽样，共抽出1个球。这个时候，样本空间

A={a₁,a₂,a₃,b₁,b₂}………………………………………………(3.1)

样本点分别为a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,b₃。

例如2，在问题中，如果我们对盒子中进行有放回的抽样，共抽出2个球。这个时候，情况恐怕就变了。我们用(a_i,b_j)表示两次抽取的结果。样本空间

B={
(a₁,a₁),(a₁,a₂),(a₁,a₃),(a₁,b₁),(a₁,b₂),
(a₂,a₁),(a₂,a₂),(a₂,a₃),(a₂,b₁),(a₂,b₂),
(a₃,a₁),(a₃,a₂),(a₃,a₃),(a₃,b₁),(a₃,b₂),
(b₁,a₁),(b₁,a₂),(b₁,a₃),(b₁,b₁),(b₁,b₂),
(b₁,a₁),(b₁,a₂),(b₁,a₃),(b₁,b₁),(b₁,b₂)
}…………………………………………(3.2)

样本点分别为(a₁,a₁),(a₁,a₂),…,(b₁,b₁),(b₁,b₂)。

例如2,在问题中，如果我们对盒子中进行有放回的抽样，抽出连续2个相同颜色的球。样本空间又有变化。样本点可能是

c₁= a₁
c₂= a₁,a₁
c₃= a₁,a₁,a₂
c₄= a₁,a₁,a₂,a₃
…

样本空间

C={c₁,c₂,…,c_r}…………………………(3.3)

这告诉我们，样本空间指的是样本点的集合，而非盒子里面有几个球。

4.子集与事件

在集合论中，若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A ⊆ B。

而在概率论中，事件就是集合论中的子集，即事件由元素组成，是样本空间的一部分。

例子1,考虑问题中，进行1次抽样，在(3.1)中，我们已经列出了样本空间。抽出的球是红色的事件是一个集合，

D={
a₁,a₂,a₃
}…………………………(4.1)

例子1,考虑问题中，进行2次抽样，在(3.2)中，我们已经列出了样本空间。抽出的球全部是绿的事件是一个集合，

E={
(b₁,b₁),(b₁,b₂),
(b₂,b₂),(b₂,b₁)
}…………………………(4.2)

抽出的球全部是红色的事件是一个集合，

F={
(a₁,a₁),(a₁,a₂),(a₁,a₃),
(a₂,a₁),(a₂,a₂),(a₂,a₃),
(a₃,a₁),(a₃,a₂),(a₃,a₃),
}…………………………(4.3)

抽出的球含有绿色的事件是一个集合，

G={
(a₁,b₁),(a₁,b₂),
(a₂,b₁),(a₂,b₂),
(a₃,b₁),(a₃,b₂),
(b₁,a₁),(b₁,a₂),(b₁,a₃),(b₁,b₁),(b₁,b₂),
(b₂,a₁),(b₂,a₂),(b₂,a₃),(b₂,b₁),(b₂,b₂),
}…………………………(4.4)

抽出的球含有红色的事件是一个集合，

K={
(a₁, a₁),(a₁,a₂),(a₁,a₃),(a₁,b₁),(a₁,b₂),
(a₂,a₁),(a₂,a₂),(a₂,a₃),(a₂,b₁),(a₂,b₂),
(a₃,a₁),(a₃,a₂),(a₃,a₃),(a₃,b₁),(a₃,b₂),
(b₁,a₁),(b₁,a₂),(b₁,a₃),
(b₂,a₁),(b₂,a₂),(b₂,a₃),
}…………………………(4.5)

抽出的球含有一个绿色和一个红色的事件集合，

L={
(a₁,b₁),(a₁,b₂),
(a₂,b₁),(a₂,b₂),
(a₃,b₁),(a₃,b₂),
(b₁,a₁),(b₁,a₂),(b₁,a₃),
(b₂,a₁),(b₂,a₂),(b₂,a₃),
}…………………………(4.6)

5.关系

在集合论中，集合之间的关系包括交，并，补等。对应到概率论中的关系分别为，事件A和事件B同时发生，事件A或者事件B发生，事件A不发生。

特别的，当事件AB=0时候，A和B【互不相容】。也就是A事件和B事件没有共同的样本点。

例子.在4.子集与事件中，进行2次抽样.

球含有一个绿色一个红色的事件L是抽出的球含有绿色G 交 含有红色K的事件 即

L=G ∩ K

球含有绿色的事件G是抽出的球含有一个绿色和一个红色的事件E 并上 抽出的球全部是绿的事件L，即

G=E ∪ L

球含有绿色的事件G等同于全部是红色的事件F的非，即

G=F^'

6.启示

概率论与集合论之间的关系告诉我们，概率论的基础是建立在集合论的基础上的，因此，完全可以把集合论的定理运用到概率论之中。如的二项式系数，正太分布公式，相关，回归，完全可以用集合论的知识去推导，即使康托儿的一些很奇怪的结论也适用。

掌握了集合论，就掌握了概率论的灵魂。

7.资源

本文在于映射集合论和概率论之间的关系，如果想获得详细的解释可以参见这里。

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1.本文原始链接: https://program-dog.blogspot.com/2016/06/ProbabilityTheory01.html

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